TODO SOBRE FACTORIZACION
Factorizacion
Factorización
Antes de iniciar con el tema de factorización es necesario definir uno de los conceptos que se utilizarán con mucha frecuencia.
Factor común.- se llama así al factor que aparece en cada uno de los términos de un polinomio.
Ejemplo 1:
2ax2-4ay+8a2x
Analicemos término por término:
El primer término podemos expresarlo como: 2axx
El segundo término podemos expresarlo como: -2*2ay
Finalmente el tercer término podemos expresarlo como: 4*2aax
Como podemos observar en los tres términos que componen el polinomio tenemos el término 2a, a este término se le conoce como factor común.
De esta forma 2ax2-4ay+8a2x, puede expresarse como: 2a (x2-2y+4ax)
No existen fórmulas para la factorización, pero al ser un proceso inverso a la multiplicación, la experiencia en las fórmulas revisadas anteriormente nos permitirá reconocer cuando una expresión algebraica es el producto resultante de factores conocidos.
Decimos que factorizamos completamente cuando llegamos a una expresión en que cualquier factorización posterior produce números fraccionarios.
Ejemplo 2:
Factorizar 2x+6y.
2x+6y podemos expresarlo como 2*x+2*3*y
En este caso los coeficientes son múltiplos de 2; por lo tanto podemos tomar como factor común a 2, ya que aparece en ambos términos del polinomio.
2x+6y=2(x+3y)
Si ahora tomamos a 3 como factor común tenderemos (2)(3)
; quedando una fracción por lo que la factorización ya no es completa.
Ejemplo 3:
Descomponer en factores a(x+2y)-3(x+2y)
En este ejemplo el factor común en (x+2y), ya que aparece en los términos que componen el polinomio, por tanto (x+2y)(a-3)=a(x+2y)-3(x+2y).
Binomio Cuadrado Perfecto
Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como binomio cuadrado perfecto, debemos basarnos en la definición que se dio en el tema anterior.
Ejemplo 1:
Factorizar a2-4ab+4b2
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:
Raíz cuadrada del tercer término:
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab
Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.
Ejemplo 2:
Factorizar 36x2-18xy4+4y8
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:
Raíz cuadrada del tercer término:
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x
Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.
Diferencia de cuadrados
Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo 1:
Factorizar 1-a2
Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:
Raíz cuadrada del minuendo:
Raíz cuadrada del sustraendo:
Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).
Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)
Ejemplo 2:
Factorizar 16x2-25y4
Raíz cuadrada del minuendo:
Raíz cuadrada del sustraendo:
Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).
Por lo tanto: 16x2-25y4 =(4x+5y2)( 4x-5y2)
Factorización de trinomios
Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma (a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2, para poder factorizar un polinomio que presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:
Factorizar x2+2x-15
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 2x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +2x por el signo de -15, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15 (x2+2x-15).
Para este caso particular los números son 5 y 3, ya que restándolos (5-3=2) dan dos y multiplicándolos (5*3=15) dan 15.
Por tanto, x2+2x-15 puede expresarse como: (x+3)(x-5).
Factorización por agrupación
Para explicarla, veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1:
Factorizar ax-ay-bx+by
Esta expresión con cuatro términos no la podemos factorizar en dos binomios con términos semejantes.
En este caso el primer paso a seguir es aplicar la ley asociativa, que nos permita encontrar un factor común para lograr la factorización completa.
Aplicando la ley asociativa: (ax-ay)-(bx-by)
En el primer binomio (ax-ay) vemos que el factor común es a, por lo tanto podemos expresarlo como: a(x-y).
En el segundo (bx-by) binomio el factor común es b, por lo tanto podemos expresarlo como: b(x-y).
De esta forma: ax-ay-bx+by podemos expresarlo también como a(x-y)-b(x-y), a su vez podemos factorizarlo, el factor común es (x-y), quedando de la siguiente forma: (a-b)(x-y).
Recordemos que cuando la factorización es completa, los factores son siempre los mismos, no importa en que orden se haya factorizado.
Ejemplo 2:
Factorizar x2 - y2 + x3 - y3
Aplicando la ley asociativa tenemos: (x2 - y2) + (x3 - y3 )
Si tomamos primero el primer binomio (x2 - y2), podemos ver que se trata de una diferencia de cuadrados, por tanto podemos expresarlo como (x-y)(x+y).
Tomando ahora el segundo binomio, tenemos que se trata de un binomio al cubo, por tanto podemos expresarlo como ( x - y )[ x2 +xy + y2].
De esta forma: x2 - y2 + x3 - y3=(x-y) (x + y ) + (x-y)[ x2 +xy + y2]
Podemos ver que (x-y) es el factor común del polinomio, por lo que finalmente podemos expresarlo de la siguiente forma:
(x -y)*[(x+y)+(x2+xy+y2)].